1. Présentation
   Deux méthodes principales sont proposées.
   La première (utilisée dans les deux premières études) consiste à compter (dénombrer) le nombre de possibilité de chaque événement (possibilité) et à le comparer au nombre total de possibilité. Cette méthode est valable quand les possibilités sont facilement dénombrables.
   La seconde consiste à utiliser les probabilités. La probabilité d’un événement est le rapport du nombre de possibilité de cet événement par le nombre total des possibilités. Cette méthode est utilisée par exemple au quatrième tableau car elle permet grâce à des propriétés énumérées par la suite d’éviter de compter tous les cas.
   
2. Vocabulaire
   événement élémentaire : pour le jet d’un dés à 6 faces, les évènements élémentaires sont faire «1», «2», «3», «4», «5» ou «6». «Faire un total de 6 sur 2 dés» n’est pas un événement élémentaire, par contre faire «1 et 5», «2 et 4», «3 et 3», «4 et 2» ainsi que «5 et 1» sont des événements élémentaires (attention il faut prendre en compte l’ordre des dés). L’événement «faire un total de 6» est l’union de tous ces évènements élémentaires.
   univers : l’ensemble des événements élémentaires est appelé univers, comme faire «1», «2», «3», «4», «5» ou «6» avec un dés à 6 faces. Dans cet exemple, on a U={1,2,3,4,5,6}.
   événements incompatibles : ils ne peuvent pas être réalisés simultanément comme faire sur un jet de deux dès au moins un «5» et «avoir une somme de 4».
   événements contraires : A et B sont des événements contraires si B contient tous les événements élémentaires ne se trouvant pas dans A. On note B= ;A. Par exemple A : «obtenir un résultat pair» et B : «obtenir un résultat impair».
   événement A et B : tous les événements élémentaires se trouvant à la fois dans A et B. Si A est faire un multiple de trois et B faire un nombre pair sur la somme de deux jets de dés, «A et B»= A
   Ç
   B= «Faire 6 ou 12»
   événement A ou B : tous les événements se trouvant soit dans A soit dans B. Avec l’exemple précédant ceci donnera «A ou B»= AÈB= «Faire 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10 ou 12».
   équiprobabilité : on dit qu’on a les conditions d’équiprobabilité quand tous les événements élémentaires ont la même probabilité. Pour des dès non truqués on a équiprobabilité. Dans ce cas, on a : p(A)=card(A)/card(U) avec card A qui est égal au nombre d’événements élémentaires de A et card U qui est le nombre d’événements élémentaires total
   événements dépendants : a et b sont dépendants si le résultat de b dépend de a par exemple tirons 2 cartes d’un paquet. On ne peut pas tirer deux fois la même carte Þ le 2^nd tirage dépend du premier.
   événements indépendants : a et b sont indépendant si le résultat de a n’influe pas sur le résultat de b. Par exemple a résultat du premier dès et b résultat du second dés.
   
3. Propriétés
   1) Une probabilité est un réel positif entre 0 et 1. On note p(A) la probabilité d’un événement A.
   2) La somme de toutes des probabilités de tous les événements élémentaires fait 1. Plus généralement : p(A)+p(A)=1.
   3) p(AÈB)+p(AÇB)=p(A)+p(B).Donc si A et B sont incompatibles p(AÇB)=0, on a p(AÈB)=p(A)+p(B).
   4) La somme des probabilités d’un ensemble d’événements incompatibles dont l’union forme tout l’univers est 1 : la ligne ‘total’ de mes tableaux sert de vérification.
   5) A et B étant deux événement indépendants p(AÇB)=p(A)) x p(B). Par exemple sur deux jets de dès A : le premier tombe sur un nombre pair et B le second dès impair. p(AÇB)=p(A)) x p(B)=3/6x2/6=1/6 (voir aussi l’équiprobabilité).
   
   

1. On jette un seul dès : 1D6
   Les 6 résultats de notre dès sont équiprobable (dès non truqué). Avec les faces numérotées de 1 à 6. Ceci donne comme tableau de probabilité (simple, mais il faut commencer par là) :
   
2. On jette deux dès : 2D6
   En faisant la somme des deux dés, on peut obtenir un résultat de 2 à 12. On peut trouver le nombre de possibilités de faire un résultat en faisant le compte (dénombrement) des possibilités. Prenons des exemples :
   Pour 6 : 1+5 ; 2+4; 3+3 ; 4+2 ; 5+1 ;Þ 5 possibilités : le premier peut aller de 1 à 5.
   Pour 10 : 4+6 ; 5+5; 6+4 ;Þ 3 possibilités : le premier dès peut aller de 4 à 6.
   Un simple dénombrement suffit car toutes ses possibilités sont équiprobables.
   Ce raisonnement revient à faire dans sa tête le tableau ci dessous où on a les jets les deux dès et le résultat. On dénombre les résultats égaux sur les diagonales.
   Comme cette méthode sera souvent utilisée avec des données plus complexes qui ne pourraient pas entrer dans un tableau, j'ai préféré l'expliquer sur un cas simple.
   
3. On jette trois dés : 3D6
   Le plus simple est d'utiliser le tableau déjà fait pour dénombrer les possibilités des deux premiers dès auquel on rajoutera le résultat du troisième dés. Le résultat du 3^ème dès étant indépendant des 2 premiers, on peut utiliser la propriété ;: p(AÈB)=p(A)xp(B) en comptant toutes les solutions pour obtenir un résultat. Pour 5 par exemple : 5=2+3=3+2=4+1 (3 solutions possibles : 2D6 +1D6) donc p(5)=0,028/6+0,056/6+0,083/6=0,167/6=0,028. Pour vérifier, j'ai rajouté la ligne des possibilités.
   
   

1. Exemple simple : le meilleur de deux dès 6
   La première ligne de calculs consiste à trouver quelle chance a-t-on de n'avoir aucun dès dont le résultat est supérieur ou égal à 1, 2, 3, 4, 5 ou 6. On trouve ce résultat de la manière suivante pour 4 par exemple : on ne doit obtenir ni de 4 ni de 5 ni de 6 sur aucun des deux dés. Donc ceci fait 3/6 par dés, donc (3/6)² pour le total.
   La seconde ligne représente les événements contraires à la première. On fait donc 1- la première ligne.
   La troisième découle d'une suite logique : si on a au moins un nombre supérieur ou égal à 4 et aucun supérieur ou égal à 5 on en déduit que le plus grand est 4 donc p(max=4)=p(>=4)-p(>=5)=0,75-0,56=0,19. On fait de même pour tous les autres résultats. ;
   Cet exemple simple peut se dénombrer avec un tableau où on met deux entrées comme le 2^nd tableau du II)B). Ceci n'est pas le cas de l'exemple suivant : on doit jeter 6x3=18 dès à 6 faces ce qui fait un total de 6¹⁸ >10¹⁴ solutions (plus de 100 millions de million ou100 milliers de milliard !).
   
2. Le meilleur résultat d'une série de 6 fois 3D6
   On utilise le même raisonnement que précédemment avec les résultats du tableau 3D6.
      On a du rajouter la première ligne de calculs qui donne la probabilité de faire au moins le résultat affiché avec un seul jet.
   La seconde ligne, faire aucun résultat supérieur ou égal à ce nombre avec 6 jets, sera donc (1- première ligne)⁶ . La parenthèse représentent la probabilité qu'un jet (seul) ne soit pas supérieur ou égal au résultat. Les 6 jets étant indépendant le résultat a été mis à l'exposant 6 (on peut changer ce nombre dans le fichier excel).
      La dernière est comme le tableau précédent.
   

1. Premier tableau : pour mieux partir
   Ce premier tableau serai en soit inutile s'il n'était pas conçu uniquement pour mieux comprendre les 2^nd et 3^ème tableaux
   Quand on tire un seul dés, son résultat est à la fois le meilleur et le plus mauvais car il est le seul résultat. La probabilité de faire 5 est 1/6. Dans ce cas le plus mauvais dès possible est 5 les autres ayant une probabilité nulle car on a tiré uniquement 5.
   
2. Second tableau
   Ce tableau peut se remplir en dénombrant :
   si je fait 1 au premier et 1 au second, le résultat est 2 le plus mauvais dès est 1.
   si je fait 1 au premier et 2 au second, le résultat est 3 le plus mauvais dès est 1.
   ...
   si je fait 5 au premier et 4 au second, le résultat est 9 le plus mauvais dès est 4.
   Puis on divise le nombre de possibilité recensée dans chaque cas par le nombre total de possibilité total.
   

Remarques : une case avec un zéro s'explique simplement : on ne peut pas obtenir ce résultat avec un dès ayant la valeur du plus mauvais dés. Comme par exemple il est impossible de faire 4 avec un 5 sur un des deux dès ou on ne pas faire 10 si un des deux dès est 1.
on ne trouve que deux résultats : 0,028 et 0,056 car il n'y a que une ou deux possibilités chaque fois. 0,028 indique que se résultat est obtenu avec 2 dès identique comme 8=4+4 (résultat 8 et moins bon dès 4).

3. troisième tableau
   Ce tableau représente la somme de 4 dès 6 avec comme information, le plus mauvais des 4 dés. Comme 4=2+2, j'ai utilisé le tableau précédent. Le raisonnement est un dénombrement de possibilité :
   
   pour faire 4 on dispose de 2+2 : probabilité 0,028 x 0,028 avec 1 et 1 comme plus mauvais dés, on retient 1.
   ...
   pour faire 9 on dispose de 2+7 ; 3+6 ; 4+5 ; 5+4 ; 6+3 ; 7+2.
   pour faire 2+7 on a une probabilité de
   0,028 x 0,056 avec 1 et 1 comme plus mauvais dés, on retient 1
   0,028 x 0,056 avec 1 et 2 comme plus mauvais dés, on retient 1
   0,028 x 0,056 avec 1 et 3 comme plus mauvais dés, on retient 1
   pour faire 3+6 on a une probabilité de...
   ...
   pour faire 7+2...
   pour faire 10 ...
   ...
   pour faire 24 on dispose de 12+12 : probabilité 0,028 x 0,028 avec 6 comme plus mauvais dés, on retient 1.
   Puis on fait la somme de tous ces cas (voir dans le fichier excel procédure VBA quatre_D_six, la procédure deux_D_six fait le même raisonnement pour trouver le tableau précédent)
   

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