Une suite géométrique est une suite qui est de la forme suivante : an+1=r.an.
Ceci donne an=rna0. Cette formule permet de
calculer rapidement an quand on connaît n, r et a0.
Il existe aussi les suites arithmétiques qui sont simples à exprimer : an+1=an+q.
Ceci donne an=a0+nq. Cette formule permet aussi de
retrouver facilement an.
Malheureusement, toutes les suites ne sont pas si simple. Parfois, on essaie de retomber sur une
telle suite par une transformation simple pour trouver une formule qui donne
tous les termes de la suite :par exemple celle qui donne le Rn
dans l’étude suivante.
B) Emprunt et placements
Sur un compte le solde de départ est E (réel quelconque). Chaque mois, on verse une
mensualité de M (négative si c’est la banque qui nous verse de l’argent), les
taux d’intérêts mensuels sont de r-1 (attention, ce n’est pas un % !) ou (r-1)/100 %.
Ceci donne : Sn=rSn-1+M. Cette suite n’est ni
géométrique, ni algébrique. On va la modifier afin qu’elle devienne
géométrique : Rn=Sn+C ou Sn=Rn-C
avec C constante choisie spécialement pour quer Rn soit géométrique.
Celà implique : Rn-C=r(Rn-1-C)+M d'où Rn=rRn-1-rC+M+C.
Pour que ceci soit une suite géométrique, il faut que la constante -rC+M+C soit nulle. Ca nous impose C=M/(r-1).
Rn étant une suite géométrique, on a donc Rn=rnR0=rn(S0+C),
donc Sn=rn(S0+C)-C
C) Intérêt annuel - intérêt mensuel
1) Préliminaire :
Comparer un premier placement de 100F à 100% sur 10 ans (vu en publicité) et un second de 100F à 8%
par an qu’on laisse 10 ans.
Au bout de 10 ans on aura par le second 100x1,0810 les intérêts arrivent 10 fois
en 10 ans : au bout de 1 an on a 100+100*8/100=100x1,08=108F, de 2 ans
108+108x8/100=108x1,08... Ceci donne à la fin pour le second 215,89F=100x1,0810 alors que
pour le premier on aurait que 200F.
En conclusion l’intérêt annuel d’un placement à 100% sur 10 ans n’est pas 100%/10=10% car il est
inférieur à 8% ! En fait chaque année on multiplie par la racine dixième
de (1+100/100)=2 qui vaut 1,0718. Donc 100% sur 10 ans équivaut à 7,18% par an.
Finalement : méfiez-vous des pub pour les placements. Réfléchissez bien avant de trouver le
meilleur. Les pub sont faites pour tromper.
2) Intérêt mensuel
Sur un an il y a 12 mois, donc un taux de ta% annuel donne tm par mois. tm vérifie (1+tm/100)12=1+ta/100.
Ceci donne ta=100(1+tm/100)12-100 et 1+tm/10 est la racine 12ème de 1+ta/100.
Voici la formule :
Exemple : 6% par an donne 0,487% par mois. Chaque mois le montant est multiplié par 1,00487
et 1,0048712=1,060031 donc au bout de 1 an on a bien un gain de 6%.
Attention : si les virements ou rente sont mensuels, il faut prendre les intérêts mensuels alors qu'on parle toujours en intérêts annuels.
Exemple : soit un placement à 12% par an. On pourrait dire trop rapidement que ça représente 1% par mois!
A 1% par mois, ceci donne :
1ermois : 100x1,01=101
2ememois : 101x1,01=102,01
3ememois : 102,01x1,01=103,0301
4ememois : 103,0301x1,01=104,0604
5ememois : 104,0604x1,01=105,1010
6ememois : 105,1010x1,01=106,1520
7ememois : 106,1420x1,01=107,2135
8ememois : 107,2135x1,01=108,2856
9ememois : 108,2856x1,01=109,3684
10ememois : 109,3684x1,01=110,4520
11ememois : 110,4520x1,01=111,5565
12ememois : 111,5565x1,01=112,6720
Ceci fait finalement un placement à 12,67%!!
2) Calculs : Intérêt mensuel <=> Intérêt annuel
Ecrivez votre taux dans la case et vous aurez la convertion taux mensuel en taux annuel ainsi que la convertion taux annuel => taux mensuel en cliquant sur OK.
II) Je fais un emprunt et je rembourse
Ce cas correspond à S0<0 et M>0.
Le remboursement est fini quand Sn=0, donc quand rn(S0+C)=C ou
rn(S0+ M/(r-1))= M/(r-1), rn(S0(r-1)+M)=M.
Dans cette relation, on a : r/100+1 intérêt mensuel, n nombre de mois, S0 montant de l'emprunt et M mensualité.
A) On veut trouver
M, on connait le reste.
En résolvant l’équation, on trouve : M=S0(r-1)rn/(1-rn).
On peut vérifier que si n=1 on a bien M=-rS0 (une vérification n’est jamais
superflue).
Application numérique : r=1,0056 S0=15000, n=60 ou n=120 (5ans ou 10 ans) donc M=295F/mois ou M=172F/mois.
On a emprunté 15000 et remboursé 17700F ou 20640F.
B) On veut trouver n : on sait ce qu’on peut rembourser chaque mois.
La première étape consiste à isoler le rn : rn=M/(S0(r-1)+M).
Grâce au logarithme, l’exposant passe en facteur : nln(r)=ln(M/(S0(r-1)+M)) donc n= ln( M/(S0(r-1)+M))/ln(r)
A.N. :r=1 ,0056, S0=15000F et M=600F donnent : n=58,8 mois (c’est normal que le
compte ne soit pas juste). On peut rembourser sur 58 mois en remboursant un peu
plus chaque mois ou sur 59 mois en remboursant un peu moins chaque mois. On peut aussi payer 600F par mois pendant 58 mois et un peu moins
le dernier (voir tableau d'amortissement).
C) r est inconnu : on veut vérifier ce que dit le banquier
Il faut faire des essais : la durée (M fixe) ou le montant (n fixe) est une fonction
croisante de r, il faut donc trouver une valeur supérieure et une autre inférieure. Puis on resserre
l’encadrement jusqu’à la précision recherchée (résolution par dichotomie).
Attention aux arnaques : les banques parlent aussi en TEG pour donner les taux. Un taux à 5,35% TEG
est pratiquement un taux véritable de 5,5% (comme mon emprunt pour ma maison !). Pour le calcul
exacte du coût il faut aussi prendre en compte l’assurance du prêt.
La variation du dernier mois est toujours (ou presque) présebte le dernier mois car il est normal que les calculs ne tombent pas juste.
D) Tableau d'amortissement
Ce tableau peut être utile quand on fait un remboursement (partiel ou total) ou quand on change les mensualités :
il permet de savoir où on en est afin de recommencer les calculs sur de nouvelles bases.
Attention : Le second tableau s'affiche en bas du premier.
III) Placement S0>0 et M>0.
1) trouver Sn on a la formule.
Exemple : On place pendant 10 ans 100F par mois sur un compte bloqué à 4,5% (par an). Ceci fait 0,36748% par mois, donc
Sn=C(1,0036748120-1)=15047,56 avec C=100/0,0036748=27212.30. On a 15047,56F alors qu'on a placé 12000F.
2) On veut un Sn particulier : même méthode qu’au II), mais on n’a
plus « =0 » mais « =Sn ».
Exemple : on a 10000F à placer, on dépose 100F de plus par mois à 4,5%, le but étant d'avoir 20000F. Combien de mois doit-on attendre. Le taux est le même que précédement, la constante C aussi.
La formule donne rn=(20000+C)/(10000+C)=1,2687. n=ln(1,2687)/ln(1,0036748)=64,88. Les 20000 francs seront atteints (et dépassés) en 65 mois, ou 5 ans et 5 mois.
IV) Rente S0>0 et M<0.
Ici on place une certaine somme et tous les mois on en récupère une partie. Si la somme qu’on
retire est inférieure aux intérêts alors la somme placée augmentera petit à
petit. Si on choisi une rente égale aux intérêt alors le montant placé restera
inchangé. Par contre si on récupère chaque mois plus d’argent que les intérêts
alors a somme ira en diminuant jusqu’à attendre le total fatidique de 0.
La résolution se fait comme le reste, il faut juste voir dans quel cas on se place.
Exemple : J'ai 1 000 000 à placer. Je trouve un placement à 6% et je veux 5000f par mois. 6% par an donne 0,4867% par mois, par mois, au départ, je gagne 4867F : mon placment va diminuer au cours des ans. Je veux donc savoir combien de temps je vais pouvoir avoir 5000F par mois, je cherche donc Sn=0.
rn=M/(S0(r-1)+M)=37,75. n=ln(37,75)/ln(1,004867)=747,77 mois donc plus de 62 ans! Le temps serai infini si on avait choisi une rente inférieure ou égale à 4867F.
Avant de réver, penser à l'inflation qui diminue la valeur réelle de la rente dans le temps ainsi que la valeur placée.
Pour toute question supplémentaire : troumad@libertysurf.fr
nb : il faudra que je fasse un fichier excel qui fournisse directement les données ou un utilitaire en Javascript
nb : j'ai besoin de quelqu'un qui me dise comment calculer les taux en fonction de l'économie locale.