Ce fichier est accompagné d'un fichier excel avec toutes les méthodes de
calcul afin de mieux comprendre comment les résultats sont trouvés.
Ce fichier peut aussi permettre de faire ces premiers pas avec excel et VBA.
Attention, ce fichier est un centre d'essai JavaScript. En promenant votre souris, vous pouvez avoir de gentilles surprises! A vous de les trouver.
Vocabulaire - Méthodes - Cours
Aucune démonstration n'est faite ici. Il y a juste quelques notions pour mieux
comprendre la suite et faire d'autres probabilités sur des
cas pouvant vous intéresser. Pour des joueurs uniquement intéresser
par les résultats, voir uniquement le fichier excel
associé.
Présentation
Deux méthodes principales sont proposées.
La première (utilisée dans les deux premières études) consiste à compter (dénombrer) le nombre de
possibilité de chaque événement (possibilité) et à le comparer au nombre total de possibilité. Cette méthode est valable quand les possibilités sont
facilement dénombrables.
La seconde consiste à utiliser
les probabilités. La probabilité d’un événement est le rapport du nombre
de possibilité de cet événement par le nombre total des possibilités. Cette
méthode est utilisée par exemple au quatrième tableau car elle permet grâce
à des propriétés énumérées par la suite d’éviter de compter tous les
cas.
Vocabulaire
événement élémentaire :
pour le jet d’un dés à 6 faces, les évènements élémentaires sont faire
«1», «2», «3», «4», «5» ou «6». «Faire un total de 6 sur 2 dés» n’est
pas un événement élémentaire, par contre faire «1 et 5», «2 et 4», «3
et 3», «4 et 2» ainsi que «5 et 1» sont des événements élémentaires
(attention il faut prendre en compte l’ordre des dés). L’événement
«faire un total de 6» est l’union de tous ces évènements élémentaires. univers : l’ensemble des
événements élémentaires est appelé univers, comme faire «1», «2»,
«3», «4», «5» ou «6» avec un dés à 6 faces. Dans cet exemple, on a
U={1,2,3,4,5,6}. événements incompatibles : ils ne peuvent pas être réalisés simultanément comme faire sur un jet de
deux dès au moins un «5» et «avoir une somme de 4». événements contraires : A et B sont des événements contraires si B contient tous les événements
élémentaires ne se trouvant pas dans A. On note B= ;A. Par exemple A :
«obtenir un résultat pair» et B : «obtenir un résultat impair». événement A et B : tous
les événements élémentaires se trouvant à la fois dans A et B. Si A est
faire un multiple de trois et B faire un nombre pair sur la somme de deux jets
de dés, «A et B»= A
Ç
B=
«Faire 6 ou 12» événement A ou B : tous
les événements se trouvant soit dans A soit dans B. Avec l’exemple
précédant ceci donnera «A ou B»= AÈB=
«Faire 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10 ou 12». équiprobabilité : on dit
qu’on a les conditions d’équiprobabilité quand tous les événements
élémentaires ont la même probabilité. Pour des dès non truqués on a
équiprobabilité. Dans ce cas, on a : p(A)=card(A)/card(U) avec
card A qui est égal au nombre d’événements élémentaires de A et card U
qui est le nombre d’événements élémentaires total événements dépendants :
a et b sont dépendants si le résultat de b dépend de a par exemple tirons 2
cartes d’un paquet. On ne peut pas tirer deux fois la même carte Þ
le 2nd tirage dépend du premier. événements indépendants :
a et b sont indépendant si le résultat de a n’influe pas sur le résultat de
b. Par exemple a résultat du premier dès et b résultat du second dés.
Propriétés
1) Une probabilité est un réel positif entre 0 et 1. On note p(A) la probabilité d’un événement A.
2) La somme de toutes des probabilités de tous les événements élémentaires fait 1. Plus généralement : p(A)+p(A)=1.
3) p(AÈB)+p(AÇB)=p(A)+p(B).Donc
si A et B sont incompatibles p(AÇB)=0,
on a p(AÈB)=p(A)+p(B).
4) La somme des probabilités d’un ensemble d’événements incompatibles dont l’union forme tout l’univers
est 1 : la ligne ‘total’ de mes tableaux sert de vérification.
5) A et B étant deux événement
indépendants p(AÇB)=p(A)) x p(B).
Par exemple sur deux jets de dès A : le premier tombe sur un nombre pair et B
le second dès impair. p(AÇB)=p(A)) x p(B)=3/6x2/6=1/6 (voir aussi l’équiprobabilité).
Les 6 résultats de notre dès sont équiprobable (dès non truqué). Avec les
faces numérotées de 1 à 6. Ceci donne comme tableau de probabilité (simple, mais il faut commencer par là) :
En faisant la somme des deux dés, on peut obtenir un résultat de 2 à 12. On
peut trouver le nombre de possibilités de faire un résultat en
faisant le compte (dénombrement) des possibilités. Prenons des exemples :
Pour 6 : 1+5 ; 2+4; 3+3 ; 4+2 ; 5+1 ;Þ 5 possibilités : le premier peut aller
de 1 à 5.
Pour 10 : 4+6 ; 5+5; 6+4 ;Þ 3 possibilités : le premier dès peut aller de 4
à 6.
Un simple dénombrement suffit car toutes ses possibilités sont équiprobables.
Ce raisonnement revient à faire dans sa tête le tableau ci dessous où on a les
jets les deux dès et le résultat. On dénombre les résultats égaux sur les diagonales.
Comme cette méthode
sera souvent utilisée avec des données plus complexes qui ne
pourraient pas entrer dans un tableau, j'ai préféré l'expliquer
sur un cas simple.
Le plus simple est d'utiliser le tableau déjà fait pour dénombrer les
possibilités des deux premiers dès auquel on rajoutera le résultat
du troisième dés. Le résultat du 3ème dès étant
indépendant des 2 premiers, on peut utiliser la propriété ;:
p(AÈB)=p(A)xp(B) en comptant toutes les solutions pour
obtenir un résultat. Pour 5 par exemple : 5=2+3=3+2=4+1 (3
solutions possibles : 2D6 +1D6) donc p(5)=0,028/6+0,056/6+0,083/6=0,167/6=0,028.
Pour vérifier, j'ai rajouté la ligne des possibilités.
Le meilleur résultat d'une série de 6 fois 3D6
Ca devient de plus en plus dur !
Exemple simple : le meilleur de deux dès
6
La première ligne
de calculs consiste à trouver quelle chance a-t-on de n'avoir
aucun dès dont le résultat est supérieur ou égal à 1, 2, 3,
4, 5 ou 6. On trouve ce résultat de la manière suivante pour 4
par exemple : on ne doit obtenir ni de 4 ni de 5 ni de 6 sur
aucun des deux dés. Donc ceci fait 3/6 par dés, donc (3/6)²
pour le total.
La seconde ligne
représente les événements contraires à la première. On fait
donc 1- la première ligne.
La troisième découle
d'une suite logique : si on a au moins un nombre supérieur
ou égal à 4 et aucun supérieur ou égal à 5 on en déduit que
le plus grand est 4 donc p(max=4)=p(>=4)-p(>=5)=0,75-0,56=0,19.
On fait de même pour tous les autres résultats. ;
Cet exemple simple
peut se dénombrer avec un tableau où on met deux entrées comme
le 2nd tableau du II)B). Ceci n'est pas le cas de
l'exemple suivant : on doit jeter 6x3=18 dès à 6 faces ce
qui fait un total de 618 >1014 solutions
(plus de 100 millions de million ou100 milliers de milliard !).
Le meilleur résultat d'une série de 6 fois 3D6
On utilise le même raisonnement que précédemment avec les résultats du tableau 3D6.
On a du rajouter la première ligne
de calculs qui donne la probabilité de faire au moins le résultat
affiché avec un seul jet.
La seconde ligne, faire aucun résultat supérieur ou égal à ce nombre avec 6
jets, sera donc (1- première ligne)6 . La parenthèse
représentent la probabilité qu'un jet (seul) ne soit pas
supérieur ou égal au résultat. Les 6 jets étant indépendant
le résultat a été mis à l'exposant 6 (on peut changer ce
nombre dans le fichier excel).
La dernière est comme le tableau précédent.
La somme des trois meilleurs dès parmi 4
Le plus est pour la fin et on y est !
Le but de la manuvre
est de faire la somme des 4 dès 6 et de soustraire le plus
mauvais dès qu'il faudra donc connaître. On va surtout
utiliser les probabilités et les propriétés des événements
indépendants.
Premier tableau : pour mieux partir
Ce premier tableau
serai en soit inutile s'il n'était pas conçu
uniquement pour mieux comprendre les 2nd et 3ème tableaux
Quand on tire un seul dés, son résultat est à la fois le meilleur et le plus
mauvais car il est le seul résultat. La probabilité de faire 5
est 1/6. Dans ce cas le plus mauvais dès possible est 5 les
autres ayant une probabilité nulle car on a tiré uniquement 5.
Second tableau
Ce tableau peut se remplir en dénombrant :
si je fait 1 au premier et 1 au second, le résultat est 2 le plus mauvais dès est 1.
si je fait 1 au premier et 2 au second, le résultat est 3 le plus mauvais dès est 1.
...
si je fait 5 au premier et 4 au second, le résultat est 9 le plus mauvais dès est 4.
Puis on divise le nombre de possibilité recensée dans chaque cas par le nombre
total de possibilité total.
Remarques : une case avec un zéro s'explique simplement : on ne peut
pas obtenir ce résultat avec un dès ayant la valeur du plus
mauvais dés. Comme par exemple il est impossible de faire 4 avec
un 5 sur un des deux dès ou on ne pas faire 10 si un des deux dès
est 1.
on ne trouve que deux résultats : 0,028 et 0,056 car il n'y a que une ou
deux possibilités chaque fois. 0,028 indique que se résultat
est obtenu avec 2 dès identique comme 8=4+4 (résultat 8 et
moins bon dès 4).
troisième tableau
Ce tableau représente la somme de 4 dès 6 avec comme information, le plus mauvais des
4 dés. Comme 4=2+2, j'ai utilisé le tableau précédent.
Le raisonnement est un dénombrement de possibilité :
pour faire 4 on dispose de 2+2 : probabilité 0,028 x 0,028 avec 1 et 1 comme plus mauvais dés, on retient 1.
...
pour faire 9 on dispose de 2+7 ; 3+6 ; 4+5 ; 5+4 ; 6+3 ; 7+2.
pour faire 2+7 on a une probabilité de
0,028 x 0,056 avec 1 et 1 comme plus mauvais dés, on retient 1
0,028 x 0,056 avec 1 et 2 comme plus mauvais dés, on retient 1
0,028 x 0,056 avec 1 et 3 comme plus mauvais dés, on retient 1
pour faire 3+6 on a une probabilité de...
...
pour faire 7+2...
pour faire 10 ...
...
pour faire 24 on dispose de 12+12 : probabilité 0,028 x 0,028 avec 6 comme plus mauvais dés, on retient 1.
Puis on fait la somme de tous ces cas (voir dans le fichier excel
procédure VBA quatre_D_six, la procédure deux_D_six fait le même
raisonnement pour trouver le tableau précédent)
Un 0 dans une case indique un événement impossible : on ne peut pas 24 avec 1
comme plus mauvais résultat ! Avec un 1 sur un des 3 dès le résultat
le plus élevé est 3x6+1=19.
On parcourt le tableau et on soustrait à la somme des 4 dès 6 le plus mauvais.
Ceci donnera un résultat et la probabilité de l'obtenir.
Un résultat étant obtenu de plusieurs manières, il faut donc
additionner les probabilités de chaque possibilité. Par exemple
pour 8=9-1=10-2 (11-3 est impossible car si on a 3 comme plus
mauvais dès le résultat vaut au moins 12=4x3). La probabilité
sera de 0,04+0,008=0,048.
Ceci est aussi traité par une procédure VBA.