Les loteries

1. La théorie de base
   1. Les arrangements-combinaisons

      Le tout est de savoir si l'ordre a une importance ou non pour faire la différence entre les notions d'arrangeme nt et de combinaison. Prenons par exemple le tiercé, l'ordre d'arrivée des chevaux a une importance, par contre pour le loto, l'ordre de sortie des boules n'a aucune importance.

      Pour le tiercé, la notion qui rentre en jeu est l'arrangement (l'ordre est important) et pour le loto, l'ordre est la combinaison (l'ordre est sans importance). Comme les combinaisons se trouvent à partir des arrangements, nous étudierons en premier les arrangements.

   2. Les arrangements

      Un arrangement () répond à la question combien j'ai de groupes ordonnés de p éléments parmi n différents.

      1. Le calcul
         • Pour le premier élément nous avons n possibilités
         • Pour le second, il reste n-1 possibilités car on ne peut retirer deux fois le même : on en est à n(n-1) possibilités. Une arrivée de tierce de la forme 1-1-2 (deux fois le même cheval) est impossible.
         • Pour le troisième, il reste n-2 possibilités : on en est à n(n-1)(n-2) possibilités.
         • ...
         • Pour le dernier tirage, on a déjà fait p-1, il reste donc n-(p-1)=n-p+1 possibilités. Ceci nous fait n(n-1)(n-2)(n-3)...(n-p+1) possibilités au total. Ce nombre, nous l'appellerons Anp.
      2. L'expression avec le factoriel
         1. Présentation du factoriel

            On note n!=1x2x3x4x....x(n-1)xn

            Ceci donne : 6!=6.5.4.3.2.1=720 5!=5.4.3.2.1=120 4!=4.3.2.1=24 3!=3.2.1=6 2!=2.1=2 1!=1

            On peut remarquer que n!=n.(n-1)! : 6!=6.5! 5!=5.4! 4!=4.3! 3!=3.2! 2!=2.1! 1!=1.0!

            Vous allez dire que 0! n'existe pas (encore)? Alors on le crée en disant 0!=1=1!/1. C'est une définition.

         2. La simplification

            On peut noter =[nx(n-1)x(n-2)x...x(n-p+1)x(n-p)x(n-p-1)x...x2.1]/[(n-p)x(n-p-1)x...x2.1] (c'est juste une simplification de fraction...). Ceci peut se noter :

            A p = n! n (n-p)!

      3. Exemples

         Le cas pour vérifier : si on veut un élément parmi n, on a n!/(n-1)!=n.(n-1)!/(n-1)!=n. On a bien n éléments différents!

         Si on veut le nombre d'arrangement de 2 éléments parmi trois (ABC), ceci donne =3!/(3-2)!=6/1=6. Exact, nous avons AB, AC, BA, BC, CA et CB.

         Calculer vous-même , . Pour une course que 10 chevaux, combien de tiercés, quartés ou quintés différents peut-on avoir?

         Que pensez-vous de ? Il est impossible de classer 8 éléments différents parmi un ensemble de 3 ! On peut donc dire que =0, par extension : =0 si p>n.

         Combien d'arrangements de n éléments parmi n peut-on avoir? =n!/(n-n)!=n!/0!=n! car 0!=1. Ceci signifie qu'on a n! manières différentes de classer n éléments différents.

   3. Les combinaisons
      1. L'ordre

         Pour une combinaison, l'ordre est indifférent : au loto que le tirage soit 1 2 3 4 5 6 ou 6 3 5 2 4 1 , c'est identique! La question est donc pour une combinaison, on a combien d'arrangement?

         Si on a une combinaison de p éléments, on peut les classer de p! manières différentes. Le nombre de combinaisons de p éléments parmi n () vérifie donc .p!=. Ceci donne :

         C p = n! n p!(n-p)!

      2. Exemples

         Calculez , , , , .(Voir les réponses).

         Que pensez-vous de ? Comme pour , il est nul. Par Extension =0 si p>n.

         Au loto, on a 6 numéros parmi 49, ceci donne =49!/(6!.43!)=13983816 possibilités donc 1 chance sur 14 millions de gagner. Ceci permet de dire qu'une grille tombe en moyenne une fois tous les 67000 ans en comptant 4 tirages par semaines : 13983816/(52*4)=67230.

      3. Manipulation des

   Un premier travail avec les factoriels donne =. Ceci veut dire que sur les 49 numéros du loto, on a autant de groupe de 6 numéros que de groupes de 43 numéros. Ceci parait normal si on fait un groupe de 6, il reste un autre groupe de 43. Donc pour chaque groupe de 6, on a un groupe de 43 et vise versa. On peut calculer que +=. C'est un petit travail intéressant pour voir si les factoriels sont bien rentrés! Cette dernière relation permet de faire le triangle de Pascal pour calculer à la main les coefficients. Ce tableau est ci-contre : L'élément de base de ce triangle est : + =

   Tableau de Pascal | 1 | 1 1 | 1 2 1 | 1 3 3 1 | 1 4 6 4 1 | 1 5 10 10 5 1 | 1 6 15 20 15 6 1 | 1 7 21 35 35 21 7 1 ... | 1 ...

2. La pratique
   1. Premières questions simples
      • Au tarot à 4, sur 78 cartes, on en a 18 chacun. Combien de jeux différents un joueur peut-il avoir?Voir la réponse
      • Même question que la précédente, mais pour le tarot à 3 : 24 cartes et à 5 : 15 cartes.Voir les réponses
      • Avec nos 26 lettres combien peut-on faire de paquets de 8 lettres (toutes différentes)? Et combien de mots différents peut-on faire avec ces 8 lettres? Combien de mots de 8 lettres peut-on faire?Voir la réponse.
      • Même question que la précédente, mais avec nos 10 chiffres.Voir la réponse.
   2. La théorie sur les tirages

      Il va soi que comme pour les questions précédentes, on ne triche pas, on a autant de chance de tirer n'importe quel numéro (ou carte). Ceci s'appelle l'équiprobabilité.

      Si on tire p nombres parmi n, on a possibilités différentes. Le tout après est de savoir : combien de possibilités avons nous dans le cas qui nous intéresse. Le plus difficile, c'est vraiment ça : comment bien définir notre cas (énènement) afin de pouvoir le dénombrer correctement.

      La question sera principalement sur mes p numéros combien ont été tirés? Ou plutôt combien de choix différents donne donne q (q<p) bons numéros ?

      Ceci est un jeu avec q bons numéros parmi p bons et à p-q mauvais numéros parmi n-p mauvais (ceux qui ne sont pas bons). Ceci donne Cpq possibilités pour les bons numéros et pour les mauvais. Le total de possibilité d'un tel jeu est est donc la multiplication de ces deux nombre : . :

      C	q	C	q-p	=	p!	(n-p)!
      	p		q-p		q!(p-q)!	(p-q)!(n-p-p+q)!

   3. Exemple du loto
      1. Sans prendre en compte le numéro complémentaire : n=49 et p=6

         Au loto, ceci donne 258 jeux avec uniquement 5 bons numéros, 13 545 avec 4, 246 820 avec 3, 1 851 150 avec 2 et 5 775 588 avec 1. Sans bon numéro (6 parmi 43) : = 6 096 454.N'oubliez pas qu'au total, il y a 13 983 816 possibilités. Mais à ceci il faut retrancher les tirages avec le numéro complémentaire => il reste donc n=48.

      2. Le numéro complémentaire

         Qu'en est-il de ce numéro complémentaire? Si on a le numéro complémentaire, on a une de nos cases imposée, les 5 autres sont à choisir. Ceci revient à faire comme si n=48 et p=6.

         Ceci donne pour 5 bons numéros plus le complémentaire (5 parmi 6) : =6 possibilités. Pour 4 bons (1 parmi 42 et 4 parmi 6) : 42.=630. Pour 3 bons (3 parmi 6 et 2 parmi 42) : 17 220. Pour 2 bons : .=172 200. Pour 1 bon : .=671 580. Finalement uniquement le numéro complémentaire : .==850 668.

         Nous pouvons donc donner en faisant une soustraction, le nombre de possiblités de faire 5 bons numéros sans complémentaire.

   Bilan sur 13983816	6 bons	5 bons	4 bons	3 bons	2 bons	1 bon	Aucun bon
   Sans complémentaire	1	252	12915	229600	1678950	5104008	5245786
   Avec complémentaire		6	630	17220	172200	671580	850668

3. Autres loteries gratuites sur internet

   Ces exemples Vous permettrons d'estimer le gain moyen d'un jeu...

   1. Koodpo.com